komplexe Zahl


komplexe Zahl
komplẹxe Zahl,
 
Zahl der Form z = a + ib (mit reellen Zahlen a und b sowie der imaginären Einheit i2 = —1). Im Falle b = 0 ist z eine reelle Zahl, im Falle a = 0 liegt eine imaginäre Zahl vor. Man bezeichnet a als den Realteil und b als den Imaginärteil der komplexen Zahl z und schreibt Re z = a und Im z = b. Als konjugiert komplexe Zahl z̄ zu z = a + ib bezeichnet man die komplexe Zahl z̄ = a — ib. Komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen.
 
Für die Verknüpfungen zweier komplexer Zahlen z1 = a + ib und z2 = c + id gelten folgende Regeln:
 
Die Menge der komplexen Zahlen (Zeichen C) bildet mit der Addition und Multiplikation einen Körper; dieser stellt eine Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen dar. Während im Bereich der reellen Zahlen eine algebraische Gleichung nicht stets lösbar ist, gilt im Bereich der komplexen Zahlen der Fundamental- oder Hauptsatz der Algebra, wonach jede dieser Gleichungen eine Lösung besitzt.
 
Zur Veranschaulichung komplexer Zahlen verwendet man die auch als komplexe Ebene bezeichnete gaußsche Zahlenebene. Man trägt auf der x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems die reellen, auf der y-Achse (mit i als Einheit) die imaginären Zahlen auf (man spricht auch von reeller beziehungsweise imaginärer Achse) und ordnet jeder komplexen Zahl z den Punkt (z) mit den Koordinaten (a, b) eindeutig zu. In Polarkoordinaten kommt man zu der Darstellung
 
(eulersche Darstellung); dabei ist r = und der Polarwinkel ϕ = arctan (b / a) = Im z / Re z. Man bezeichnet ϕ als Winkel oder Argument von z und schreibt ϕ = arg z; r nennt man den Betrag |z| der komplexen Zahl z. Alle Zahlen mit |z| = r = const liegen in der Ebene auf einem Kreis mit dem Radius r um den Nullpunkt.

Universal-Lexikon. 2012.

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